2. Найти экстремумы функции: 1) f (x) = x² - 2x² + x + 3; 2) f(x) = ex (2x – 3).

2. Найдём экстремумы функции.

1) $$f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3$$

1. Найдём первую производную функции:

$$f'(x) = (x^3 - 2x^2 + x + 3)' = 3x^2 - 4x + 1$$

1. Приравняем производную к нулю:

$$3x^2 - 4x + 1 = 0$$

1. Решим квадратное уравнение:

Дискриминант: $$D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4$$

Корни:

$$x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 2}{6} = \frac{6}{6} = 1$$ $$x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 - 2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$

Найдем вторую производную функции:

$$f''(x) = (3x^2 - 4x + 1)' = 6x - 4$$

Вычислим значения второй производной в точках $$x_1$$ и $$x_2$$:

$$f''(1) = 6 \cdot 1 - 4 = 2 > 0$$, следовательно, $$x_1 = 1$$ - точка минимума. $$f''(\frac{1}{3}) = 6 \cdot \frac{1}{3} - 4 = 2 - 4 = -2 < 0$$, следовательно, $$x_2 = \frac{1}{3}$$ - точка максимума.

Вычислим значения функции в точках экстремума:

$$f(1) = 1^3 - 2 \cdot 1^2 + 1 + 3 = 1 - 2 + 1 + 3 = 3$$ $$f(\frac{1}{3}) = (\frac{1}{3})^3 - 2(\frac{1}{3})^2 + \frac{1}{3} + 3 = \frac{1}{27} - \frac{2}{9} + \frac{1}{3} + 3 = \frac{1 - 6 + 9 + 81}{27} = \frac{85}{27}$$

2) $$f(x) = e^x(2x - 3)$$.

1. Найдем первую производную функции:

$$f'(x) = (e^x(2x - 3))' = e^x(2x - 3) + e^x \cdot 2 = e^x(2x - 3 + 2) = e^x(2x - 1)$$

1. Приравняем производную к нулю:

$$e^x(2x - 1) = 0$$

Так как $$e^x > 0$$ для любого x, то уравнение равносильно:

$$2x - 1 = 0$$ $$2x = 1$$ $$x = \frac{1}{2}$$

1. Найдем вторую производную функции:

$$f''(x) = (e^x(2x - 1))' = e^x(2x - 1) + e^x \cdot 2 = e^x(2x - 1 + 2) = e^x(2x + 1)$$

Вычислим значение второй производной в точке $$x = \frac{1}{2}$$:

$$f''(\frac{1}{2}) = e^{\frac{1}{2}}(2 \cdot \frac{1}{2} + 1) = e^{\frac{1}{2}}(1 + 1) = 2e^{\frac{1}{2}} > 0$$, следовательно, $$x = \frac{1}{2}$$ - точка минимума.

Вычислим значение функции в точке экстремума:

$$f(\frac{1}{2}) = e^{\frac{1}{2}}(2 \cdot \frac{1}{2} - 3) = e^{\frac{1}{2}}(1 - 3) = -2e^{\frac{1}{2}}$$

Ответ: 1) Точка максимума: $$x = \frac{1}{3}$$, $$f(\frac{1}{3}) = \frac{85}{27}$$. Точка минимума: $$x = 1$$, $$f(1) = 3$$. 2) Точка минимума: $$x = \frac{1}{2}$$, $$f(\frac{1}{2}) = -2e^{\frac{1}{2}}$$