5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = x³ – 2x² + x + 3 на отрезке [0; 3/2].

Найдём наибольшее и наименьшее значения функции $$f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3$$ на отрезке $$[0; \frac{3}{2}]$$.

1. Найдем первую производную функции:

   $$f'(x) = (x^3 - 2x^2 + x + 3)' = 3x^2 - 4x + 1$$

2. Найдем стационарные точки функции:

   $$3x^2 - 4x + 1 = 0$$

   Дискриминант: $$D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4$$

   Корни:

   $$x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 2}{6} = \frac{6}{6} = 1$$ $$x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 - 2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$

3. Определим, какие стационарные точки лежат на отрезке $$[0; \frac{3}{2}]$$:

   Обе точки лежат на отрезке.

4. Найдем значения функции на концах отрезка и в стационарных точках:

   $$f(0) = 0^3 - 2 \cdot 0^2 + 0 + 3 = 3$$ $$f(\frac{3}{2}) = (\frac{3}{2})^3 - 2 \cdot (\frac{3}{2})^2 + \frac{3}{2} + 3 = \frac{27}{8} - \frac{18}{4} + \frac{3}{2} + 3 = \frac{27 - 36 + 12 + 24}{8} = \frac{27}{8} = 3.375$$ $$f(\frac{1}{3}) = (\frac{1}{3})^3 - 2 \cdot (\frac{1}{3})^2 + \frac{1}{3} + 3 = \frac{1}{27} - \frac{2}{9} + \frac{1}{3} + 3 = \frac{1 - 6 + 9 + 81}{27} = \frac{85}{27} \approx 3.15$$ $$f(1) = 1^3 - 2 \cdot 1^2 + 1 + 3 = 1 - 2 + 1 + 3 = 3$$

Наибольшее значение функции на отрезке $$[0; \frac{3}{2}]$$ равно $$\frac{27}{8}$$, наименьшее значение равно $$3$$.

Ответ: Наибольшее значение: $$\frac{27}{8}$$, наименьшее значение: $$3$$