3. Найти промежутки возрастания и убывания функции f(x) = x³ – 2x² + x + 3.

Найдем промежутки возрастания и убывания функции $$f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3$$.

1. Найдем первую производную функции:

   $$f'(x) = (x^3 - 2x^2 + x + 3)' = 3x^2 - 4x + 1$$

2. Найдем нули производной:

   $$3x^2 - 4x + 1 = 0$$

   Дискриминант: $$D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4$$

   Корни:

   $$x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 2}{6} = \frac{6}{6} = 1$$ $$x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 - 2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$

3. Определим знаки производной на промежутках:

   • $$(-\infty; \frac{1}{3})$$: Выберем $$x = 0$$, $$f'(0) = 3 \cdot 0^2 - 4 \cdot 0 + 1 = 1 > 0$$, следовательно, функция возрастает.
   • $$(\frac{1}{3}; 1)$$: Выберем $$x = \frac{1}{2}$$, $$f'(\frac{1}{2}) = 3 \cdot (\frac{1}{2})^2 - 4 \cdot \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{4} - 2 + 1 = \frac{3 - 8 + 4}{4} = -\frac{1}{4} < 0$$, следовательно, функция убывает.
   • $$(1; +\infty)$$: Выберем $$x = 2$$, $$f'(2) = 3 \cdot 2^2 - 4 \cdot 2 + 1 = 12 - 8 + 1 = 5 > 0$$, следовательно, функция возрастает.

Ответ: Функция возрастает на промежутках $$(-\infty; \frac{1}{3})$$ и $$(1; +\infty)$$. Функция убывает на промежутке $$(\frac{1}{3}; 1)$$.