2. Найти экстремумы функции: 1) f (x) = x³ - 2x² + x + 3; 2) f(x) = eˣ (2x - 3).

1) Для функции $$f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3$$.

1. Найдем первую производную: $$f'(x) = 3x^2 - 4x + 1$$.
2. Приравняем производную к нулю (см. предыдущую задачу): $$3x^2 - 4x + 1 = 0$$. Корни: $$x_1 = 1$$, $$x_2 = \frac{1}{3}$$.
3. Найдем вторую производную: $$f''(x) = 6x - 4$$.
4. Подставим найденные значения x во вторую производную:
5. $$f''(1) = 6 \cdot 1 - 4 = 2 > 0$$, следовательно, $$x = 1$$ - точка минимума.
6. $$f''(\frac{1}{3}) = 6 \cdot \frac{1}{3} - 4 = 2 - 4 = -2 < 0$$, следовательно, $$x = \frac{1}{3}$$ - точка максимума.
7. Найдем значения функции в точках экстремума:
8. $$f(1) = 1^3 - 2 \cdot 1^2 + 1 + 3 = 1 - 2 + 1 + 3 = 3$$.
9. $$f(\frac{1}{3}) = (\frac{1}{3})^3 - 2(\frac{1}{3})^2 + \frac{1}{3} + 3 = \frac{1}{27} - \frac{2}{9} + \frac{1}{3} + 3 = \frac{1 - 6 + 9 + 81}{27} = \frac{85}{27}$$.
10. Точка минимума: $$(1, 3)$$, точка максимума: $$(\frac{1}{3}, \frac{85}{27})$$.

2) Для функции $$f(x) = e^x (2x - 3)$$.

1. Найдем первую производную: $$f'(x) = e^x(2x - 3) + e^x \cdot 2 = e^x(2x - 3 + 2) = e^x(2x - 1)$$.
2. Приравняем производную к нулю: $$e^x(2x - 1) = 0$$. Так как $$e^x > 0$$ для всех x, то $$2x - 1 = 0$$, откуда $$x = \frac{1}{2}$$.
3. Найдем вторую производную: $$f''(x) = e^x(2x - 1) + e^x \cdot 2 = e^x(2x - 1 + 2) = e^x(2x + 1)$$.
4. Подставим найденное значение x во вторую производную: $$f''(\frac{1}{2}) = e^{\frac{1}{2}}(2 \cdot \frac{1}{2} + 1) = e^{\frac{1}{2}}(1 + 1) = 2e^{\frac{1}{2}} > 0$$, следовательно, $$x = \frac{1}{2}$$ - точка минимума.
5. Найдем значение функции в точке экстремума: $$f(\frac{1}{2}) = e^{\frac{1}{2}}(2 \cdot \frac{1}{2} - 3) = e^{\frac{1}{2}}(1 - 3) = -2e^{\frac{1}{2}}$$.
6. Точка минимума: $$(\frac{1}{2}, -2e^{\frac{1}{2}})$$.

Ответ: 1) Точка минимума: $$(1, 3)$$, точка максимума: $$(\frac{1}{3}, \frac{85}{27})$$. 2) Точка минимума: $$(\frac{1}{2}, -2e^{\frac{1}{2}})$$.