2. Найти экстремумы функции: 1) f(x) = x³ - 2x² + x + 3; 2) f(x) = ex (2x - 3).

1) $$f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3$$.

Найдем производную функции: $$f'(x) = 3x^2 - 4x + 1$$.

Приравняем производную к нулю и решим уравнение: $$3x^2 - 4x + 1 = 0$$.

Найдем дискриминант: $$D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4$$.

Найдем корни уравнения: $$x_1 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 2}{6} = \frac{6}{6} = 1$$, $$x_2 = \frac{4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 - 2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$.

Определим знаки производной на интервалах, чтобы найти точки экстремума:

1. При $$x < \frac{1}{3}$$: $$f'(0) = 3(0)^2 - 4(0) + 1 = 1 > 0$$. Функция возрастает.

2. При $$\frac{1}{3} < x < 1$$: $$f'(\frac{1}{2}) = 3(\frac{1}{2})^2 - 4(\frac{1}{2}) + 1 = \frac{3}{4} - 2 + 1 = \frac{3}{4} - 1 = -\frac{1}{4} < 0$$. Функция убывает.

3. При $$x > 1$$: $$f'(2) = 3(2)^2 - 4(2) + 1 = 12 - 8 + 1 = 5 > 0$$. Функция возрастает.

Следовательно, $$x = \frac{1}{3}$$ - точка максимума, $$x = 1$$ - точка минимума.

Найдем значения функции в этих точках: $$f(\frac{1}{3}) = (\frac{1}{3})^3 - 2(\frac{1}{3})^2 + \frac{1}{3} + 3 = \frac{1}{27} - \frac{2}{9} + \frac{1}{3} + 3 = \frac{1 - 6 + 9 + 81}{27} = \frac{85}{27}$$, $$f(1) = (1)^3 - 2(1)^2 + 1 + 3 = 1 - 2 + 1 + 3 = 3$$.

Точка максимума: $$\left(\frac{1}{3}, \frac{85}{27}\right)$$. Точка минимума: $$(1, 3)$$.

2) $$f(x) = e^x(2x - 3)$$.

Найдем производную функции: $$f'(x) = e^x(2x - 3) + e^x(2) = e^x(2x - 3 + 2) = e^x(2x - 1)$$.

Приравняем производную к нулю и решим уравнение: $$e^x(2x - 1) = 0$$.

Поскольку $$e^x$$ всегда больше нуля, то $$2x - 1 = 0$$, следовательно, $$x = \frac{1}{2}$$.

Определим знаки производной на интервалах:

1. При $$x < \frac{1}{2}$$: $$f'(0) = e^0(2(0) - 1) = 1(-1) = -1 < 0$$. Функция убывает.

2. При $$x > \frac{1}{2}$$: $$f'(1) = e^1(2(1) - 1) = e(1) = e > 0$$. Функция возрастает.

Следовательно, $$x = \frac{1}{2}$$ - точка минимума.

Найдем значение функции в этой точке: $$f(\frac{1}{2}) = e^{\frac{1}{2}}(2(\frac{1}{2}) - 3) = e^{\frac{1}{2}}(1 - 3) = -2e^{\frac{1}{2}} = -2\sqrt{e}$$.

Точка минимума: $$\left(\frac{1}{2}, -2\sqrt{e}\right)$$.

Ответ: 1) $$ \left(\frac{1}{3}, \frac{85}{27}\right)$$, $$(1, 3)$$; 2) $$\left(\frac{1}{2}, -2\sqrt{e}\right)$$.