Найти n, если $$A_n^4 = 15A_{n-2}^3$$

Дано: $$A_n^4 = 15A_{n-2}^3$$ Надо найти n. Используем формулу для размещений: $$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$$. Тогда: $$\frac{n!}{(n-4)!} = 15 \cdot \frac{(n-2)!}{(n-2-3)!}$$ $$\frac{n!}{(n-4)!} = 15 \cdot \frac{(n-2)!}{(n-5)!}$$ $$\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)!}{(n-4)!} = 15 \cdot \frac{(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)!}{(n-5)!}$$ $$n(n-1)(n-2)(n-3) = 15(n-2)(n-3)(n-4)$$ Так как $$n > 4$$, можно разделить обе части на $$(n-2)(n-3)$$ $$n(n-1) = 15(n-4)$$ $$n^2 - n = 15n - 60$$ $$n^2 - 16n + 60 = 0$$ Решаем квадратное уравнение: $$D = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 60 = 256 - 240 = 16$$ $$n_1 = \frac{16 + \sqrt{16}}{2} = \frac{16 + 4}{2} = 10$$ $$n_2 = \frac{16 - \sqrt{16}}{2} = \frac{16 - 4}{2} = 6$$ Проверим оба корня: При n = 6: $$A_6^4 = \frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 360$$ $$15A_{6-2}^3 = 15A_4^3 = 15 \cdot \frac{4!}{(4-3)!} = 15 \cdot \frac{4!}{1!} = 15 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 360$$ При n = 10: $$A_{10}^4 = \frac{10!}{(10-4)!} = \frac{10!}{6!} = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 5040$$ $$15A_{10-2}^3 = 15A_8^3 = 15 \cdot \frac{8!}{(8-3)!} = 15 \cdot \frac{8!}{5!} = 15 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 5040$$ Оба корня подходят. Ответ: n = 6 и n = 10