5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = x³ - 2x² + x + 3 на отрезке 0;.

Исправленная функция: f(x) = x³ - 2x² + x + 3

Исправленный отрезок: [0; 3/2]

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке необходимо:

1. Найти значения функции на концах отрезка:

$$f(0) = 0^3 - 2 \cdot 0^2 + 0 + 3 = 3$$

$$f(\frac{3}{2}) = (\frac{3}{2})^3 - 2 \cdot (\frac{3}{2})^2 + \frac{3}{2} + 3 = \frac{27}{8} - 2 \cdot \frac{9}{4} + \frac{3}{2} + 3 = \frac{27}{8} - \frac{18}{4} + \frac{3}{2} + 3 = \frac{27 - 36 + 12 + 24}{8} = \frac{27}{8} = 3.375$$

2. Найти стационарные точки внутри отрезка (где первая производная равна нулю):

$$f'(x) = 3x^2 - 4x + 1$$

$$3x^2 - 4x + 1 = 0$$

$$x_1 = 1, x_2 = \frac{1}{3}$$

Обе стационарные точки находятся внутри отрезка [0; 3/2].

3. Определить значения функции в стационарных точках:

$$f(\frac{1}{3}) = (\frac{1}{3})^3 - 2 \cdot (\frac{1}{3})^2 + \frac{1}{3} + 3 = \frac{1}{27} - \frac{2}{9} + \frac{1}{3} + 3 = \frac{1 - 6 + 9 + 81}{27} = \frac{85}{27} \approx 3.15$$

$$f(1) = 1^3 - 2 \cdot 1^2 + 1 + 3 = 1 - 2 + 1 + 3 = 3$$

4. Сравнить значения функции на концах отрезка и в стационарных точках:

Значения: f(0) = 3, f(3/2) = 3.375, f(1/3) ≈ 3.15, f(1) = 3.

Наибольшее значение: f(3/2) = 3.375

Наименьшее значение: f(0) = 3 и f(1) = 3

Ответ: Наибольшее значение функции на отрезке [0; 3/2]: 3.375, наименьшее значение функции на отрезке [0; 3/2]: 3.