4. Найти \(OT\)

Угол \(\angle KLT = 30^\circ\) - вписанный угол, следовательно, он равен половине дуги, на которую опирается, то есть дуга \(KT = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ\). \(OT\) и \(OK\) - радиусы окружности. Треугольник \(OKT\) - равнобедренный, так как \(OT = OK = r\). Угол \(\angle KOT\) - центральный угол, опирающийся на дугу \(KT\), следовательно, \(\angle KOT = 60^\circ\). Так как треугольник \(OKT\) равнобедренный и \(\angle KOT = 60^\circ\), то углы при основании равны \(\frac{180^\circ - 60^\circ}{2} = 60^\circ\). Следовательно, треугольник \(OKT\) - равносторонний, и \(OK = OT = KT\). По условию, \(OK = 6\sqrt{3}\), значит, \(OT = 6\sqrt{3}\). **Ответ: \(6\sqrt{3}\)**