1. Найти производную функции: 1) 3x² - 1/x³; 2) ((x/3) + 7)^6; 3) e^x cos x; 4) (2^x) / (sin x)

Разбираемся:

Чтобы найти производные функций, нужно применить соответствующие правила дифференцирования.

• 1) Для функции \( f(x) = 3x^2 - \frac{1}{x^3} \) найдем производную:

Логика такая: сначала преобразуем функцию, затем используем правило степени.

• Преобразуем функцию: \( f(x) = 3x^2 - x^{-3} \)
• Применим правило степени: \( f'(x) = 6x + 3x^{-4} \)
• Запишем в виде дроби: \( f'(x) = 6x + \frac{3}{x^4} \)

Ответ: \( f'(x) = 6x + \frac{3}{x^4} \)

• 2) Для функции \( f(x) = (\frac{x}{3} + 7)^6 \) применим правило цепочки:

Логика такая: сначала берем производную внешней функции, затем умножаем на производную внутренней функции.

• Внешняя функция: \( u^6 \), где \( u = \frac{x}{3} + 7 \)
• Производная внешней функции: \( 6u^5 \)
• Производная внутренней функции: \( \frac{1}{3} \)
• Итого: \( f'(x) = 6(\frac{x}{3} + 7)^5 \cdot \frac{1}{3} = 2(\frac{x}{3} + 7)^5 \)

Ответ: \( f'(x) = 2(\frac{x}{3} + 7)^5 \)

• 3) Для функции \( f(x) = e^x \cdot cos(x) \) применим правило произведения:

Логика такая: производная произведения равна производной первого множителя умноженной на второй, плюс первый множитель умноженный на производную второго.

• Производная \( e^x \) равна \( e^x \)
• Производная \( cos(x) \) равна \( -sin(x) \)
• Итого: \( f'(x) = e^x \cdot cos(x) - e^x \cdot sin(x) = e^x(cos(x) - sin(x)) \)

Ответ: \( f'(x) = e^x(cos(x) - sin(x)) \)

• 4) Для функции \( f(x) = \frac{2^x}{sin(x)} \) применим правило частного:

Логика такая: производная частного равна (производная числителя умноженная на знаменатель минус числитель умноженный на производную знаменателя) деленное на квадрат знаменателя.

• Производная \( 2^x \) равна \( 2^x \cdot ln(2) \)
• Производная \( sin(x) \) равна \( cos(x) \)
• Итого: \( f'(x) = \frac{2^x \cdot ln(2) \cdot sin(x) - 2^x \cdot cos(x)}{sin^2(x)} \)
• Вынесем \( 2^x \) за скобки: \( f'(x) = \frac{2^x (ln(2) \cdot sin(x) - cos(x))}{sin^2(x)} \)

Ответ: \( f'(x) = \frac{2^x (ln(2) \cdot sin(x) - cos(x))}{sin^2(x)} \)