4. Найти значения х, при которых значения производной функции f(x) = (x+1) / (x²+3) положительны.

Разбираемся:

Чтобы найти значения \( x \), при которых производная функции положительна, сначала найдем производную функции, затем решим неравенство \( f'(x) > 0 \).

• Находим производную функции \( f(x) = \frac{x+1}{x^2+3} \):

Логика такая: используем правило частного: \( (\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \)

• Производная \( (x+1) \) равна 1
• Производная \( (x^2+3) \) равна \( 2x \)
• \( f'(x) = \frac{1(x^2+3) - (x+1)(2x)}{(x^2+3)^2} = \frac{x^2 + 3 - 2x^2 - 2x}{(x^2+3)^2} = \frac{-x^2 - 2x + 3}{(x^2+3)^2} \)

• Решаем неравенство \( f'(x) > 0 \):

Логика такая: знаменатель всегда положителен, поэтому достаточно решить неравенство \( -x^2 - 2x + 3 > 0 \)

• \( -x^2 - 2x + 3 > 0 \)
• Умножим на \( -1 \): \( x^2 + 2x - 3 < 0 \)
• Разложим на множители: \( (x+3)(x-1) < 0 \)
• Решаем методом интервалов:

Логика такая: корни \( x = -3 \) и \( x = 1 \). Интервалы: \( (-\infty, -3), (-3, 1), (1, +\infty) \)

• Определим знаки на интервалах:
• \( (-\infty, -3) \): \( (-4+3)(-4-1) = (-1)(-5) = 5 > 0 \)
• \( (-3, 1) \): \( (0+3)(0-1) = (3)(-1) = -3 < 0 \)
• \( (1, +\infty) \): \( (2+3)(2-1) = (5)(1) = 5 > 0 \)
• Решением неравенства является интервал \( (-3, 1) \)

Ответ: \( x \in (-3, 1) \)