6. Найти производную функцию F(x) = log₃(sin x).

Разбираемся:

Чтобы найти производную функции, нужно применить правило цепочки.

• Внешняя функция: \( log_3(u) \), где \( u = sin(x) \)

Логика такая: производная \( log_a(x) = \frac{1}{x \cdot ln(a)} \), производная \( sin(x) = cos(x) \)

• Производная внешней функции: \( \frac{1}{u \cdot ln(3)} \)
• Производная внутренней функции: \( cos(x) \)
• Итого: \( F'(x) = \frac{1}{sin(x) \cdot ln(3)} \cdot cos(x) = \frac{cos(x)}{sin(x) \cdot ln(3)} \)
• Так как \( \frac{cos(x)}{sin(x)} = ctg(x) \), то \( F'(x) = \frac{ctg(x)}{ln(3)} \)

Ответ: \( F'(x) = \frac{ctg(x)}{ln(3)} \)