2. Найти значение производной функции f(x) = 1-6 \sqrt[3]{x} в точке x₀ = 8.

Разбираемся:

Чтобы найти значение производной функции в точке, сначала найдем производную функции, а затем подставим значение точки в производную.

• Находим производную функции \( f(x) = 1 - 6\sqrt[3]{x} \).

Логика такая: сначала преобразуем корень, затем используем правило степени.

• Преобразуем функцию: \( f(x) = 1 - 6x^{\frac{1}{3}} \)
• Применим правило степени: \( f'(x) = -6 \cdot \frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}} = -2x^{-\frac{2}{3}} \)
• Запишем в виде дроби: \( f'(x) = \frac{-2}{x^{\frac{2}{3}}} \)

• Подставим \( x_0 = 8 \) в производную:

Логика такая: \( 8^{\frac{2}{3}} = (8^{\frac{1}{3}})^2 \), \( 8^{\frac{1}{3}} = 2 \)

• \( f'(8) = \frac{-2}{8^{\frac{2}{3}}} = \frac{-2}{(2)^2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \)

Ответ: \( f'(8) = -\frac{1}{2} \)