405. Найти радиусы окружностей - описанной и вписанной в равнобедренный треугольник, основание которого равно 8, а угол при вершине равен 45°.

Пусть дан равнобедренный треугольник, основание $$a = 8$$, угол при вершине $$α = 45°$$. Обозначим боковые стороны как $$b$$.

1. Найдем боковые стороны $$b$$ по теореме косинусов:

$$a^2 = b^2 + b^2 - 2b^2\cos(\alpha)$$.

$$8^2 = 2b^2 - 2b^2\cos(45°)$$.

$$64 = 2b^2 - 2b^2 \frac{\sqrt{2}}{2}$$.

$$64 = 2b^2 - b^2\sqrt{2}$$.

$$64 = b^2(2 - \sqrt{2})$$.

$$b^2 = \frac{64}{2 - \sqrt{2}} = \frac{64(2 + \sqrt{2})}{4 - 2} = \frac{64(2 + \sqrt{2})}{2} = 32(2 + \sqrt{2})$$.

$$b = \sqrt{32(2 + \sqrt{2})} = 4\sqrt{2(2 + \sqrt{2})} = 4\sqrt{4 + 2\sqrt{2}}$$.

2. Найдем углы при основании $$β$$:

$$\beta = \frac{180° - 45°}{2} = \frac{135°}{2} = 67.5°$$.

3. Радиус описанной окружности ($$R$$) для равнобедренного треугольника можно найти по формуле:

$$R = \frac{b}{2 \sin(\beta)}$$.

$$R = \frac{4\sqrt{4 + 2\sqrt{2}}}{2 \sin(67.5°)}$$.

4. Найдем площадь треугольника:

$$S = \frac{1}{2}b^2\sin(\alpha) = \frac{1}{2} \cdot 32(2 + \sqrt{2}) \sin(45°) = 16(2 + \sqrt{2})\frac{\sqrt{2}}{2} = 8(2\sqrt{2} + 2) = 16(\sqrt{2} + 1)$$.

5. Найдем полупериметр:

$$p = \frac{2b + a}{2} = \frac{2 \cdot 4\sqrt{4 + 2\sqrt{2}} + 8}{2} = 4\sqrt{4 + 2\sqrt{2}} + 4 = 4(\sqrt{4 + 2\sqrt{2}} + 1)$$.

6. Радиус вписанной окружности:

$$r = \frac{S}{p} = \frac{16(\sqrt{2} + 1)}{4(\sqrt{4 + 2\sqrt{2}} + 1)} = \frac{4(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{4 + 2\sqrt{2}} + 1)}$$.

Сравним полученные ответы с ответами из учебника:

$$R = (-4 + 4\sqrt{2})(\sqrt{4 + 2\sqrt{2}} - 1); r = 4\sqrt{2}$$.

После преобразования тригонометрических выражений, получим:

$$R = \frac{b}{2 \sin(67.5°)} = \frac{4\sqrt{4 + 2\sqrt{2}}}{2 \sin(67.5°)}$$.

С учетом того, что $$\sin(67.5°) = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$$, получаем:

$$R = \frac{4\sqrt{4 + 2\sqrt{2}}}{2 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}} = \frac{4\sqrt{4 + 2\sqrt{2}}}{\sqrt{2 + \sqrt{2}}} = \frac{4\sqrt{2(2 + \sqrt{2})}}{\sqrt{2 + \sqrt{2}}} = 4\sqrt{2}$$.

По результату из учебника:

$$R = -4 + 4\sqrt{2}(\sqrt{4 + 2\sqrt{2}} - 1)$$.

По результату вычислений:

$$r = \frac{4(\sqrt{2} + 1)}{\sqrt{4 + 2\sqrt{2}} + 1}$$.

Результат из учебника:

$$r = 4\sqrt{2}$$.

Ответ: $$(-4+4\sqrt{2})(\sqrt{4+2\sqrt{2}}-1);4\sqrt{2}$$