406. Найти радиусы окружностей - описанной вокруг тре- угольника и вписанной равны 8, 10 и 12.

Пусть дан треугольник со сторонами $$a = 8$$, $$b = 10$$, $$c = 12$$.

1. Радиус описанной окружности $$R$$ может быть найден по формуле:

$$R = \frac{abc}{4S}$$,

где $$S$$ - площадь треугольника. Чтобы найти площадь, используем формулу Герона:

$$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$,

где $$p$$ - полупериметр треугольника:

$$p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{8 + 10 + 12}{2} = \frac{30}{2} = 15$$.

Тогда площадь:

$$S = \sqrt{15(15-8)(15-10)(15-12)} = \sqrt{15 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 3} = \sqrt{5 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 3} = \sqrt{5^2 \cdot 3^2 \cdot 7} = 5 \cdot 3 \sqrt{7} = 15\sqrt{7}$$.

Теперь найдем радиус описанной окружности:

$$R = \frac{8 \cdot 10 \cdot 12}{4 \cdot 15\sqrt{7}} = \frac{2 \cdot 10 \cdot 12}{15\sqrt{7}} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 12}{3\sqrt{7}} = \frac{4 \cdot 4}{\sqrt{7}} = \frac{16}{\sqrt{7}} = \frac{16\sqrt{7}}{7}$$.

2. Радиус вписанной окружности $$r$$ можно найти по формуле:

$$r = \frac{S}{p} = \frac{15\sqrt{7}}{15} = \sqrt{7}$$.

Сравним полученные ответы с ответами из учебника:

$$R = \frac{16\sqrt{7}}{7}; r = \sqrt{7}$$.

Ответы совпадают.

Ответ: $$\frac{16\sqrt{7}}{7}; \sqrt{7}$$