401. Найти радиусы окружностей - описанной вокруг тре- угольника и вписанной в треугольник, стороны которого равны 7; 8 и 9.

Для решения данной задачи необходимо знать формулы для нахождения радиусов описанной и вписанной окружностей треугольника, когда известны длины всех его сторон. Обозначим стороны треугольника как $$a$$, $$b$$, и $$c$$, где $$a = 7$$, $$b = 8$$, $$c = 9$$.

1. Радиус описанной окружности $$R$$ может быть найден по формуле:

$$R = \frac{abc}{4S}$$,

где $$S$$ - площадь треугольника. Чтобы найти площадь, используем формулу Герона:

$$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$,

где $$p$$ - полупериметр треугольника:

$$p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{7 + 8 + 9}{2} = \frac{24}{2} = 12$$.

Тогда площадь:

$$S = \sqrt{12(12-7)(12-8)(12-9)} = \sqrt{12 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3} = \sqrt{12 \cdot 60} = \sqrt{720} = \sqrt{144 \cdot 5} = 12\sqrt{5}$$.

Теперь найдем радиус описанной окружности:

$$R = \frac{7 \cdot 8 \cdot 9}{4 \cdot 12\sqrt{5}} = \frac{7 \cdot 2 \cdot 9}{12\sqrt{5}} = \frac{7 \cdot 3}{2\sqrt{5}} = \frac{21}{2\sqrt{5}} = \frac{21\sqrt{5}}{10} = 2.1\sqrt{5}$$.

2. Радиус вписанной окружности $$r$$ можно найти по формуле:

$$r = \frac{S}{p} = \frac{12\sqrt{5}}{12} = \sqrt{5}$$.

Сравним полученные ответы с ответами из учебника:

$$R = 2.1\sqrt{5}; r = \sqrt{5}$$.

Ответы совпадают.

Ответ: $$2.1\sqrt{5}; \sqrt{5}$$