406. Найти радиусы окружностей - описанной вокруг тре- угольника и вписанной равны 8, 10 и 12. которого

Для решения данной задачи необходимо знать формулы радиусов описанной и вписанной окружностей для произвольного треугольника.

Радиус описанной окружности $$R$$ можно найти по формуле:

$$R = \frac{abc}{4S}$$

где a, b, c - стороны треугольника, а S - его площадь. Площадь треугольника можно найти по формуле Герона:

$$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

где p - полупериметр треугольника:

$$p = \frac{a+b+c}{2}$$

В данном случае a = 8, b = 10, c = 12. Тогда:

$$p = \frac{8+10+12}{2} = \frac{30}{2} = 15$$

Площадь треугольника:

$$S = \sqrt{15(15-8)(15-10)(15-12)} = \sqrt{15 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 3} = \sqrt{1575} = 15\sqrt{7}$$

Радиус описанной окружности:

$$R = \frac{8 \cdot 10 \cdot 12}{4 \cdot 15\sqrt{7}} = \frac{960}{60\sqrt{7}} = \frac{16}{\sqrt{7}} = \frac{16\sqrt{7}}{7}$$

Радиус вписанной окружности $$r$$ можно найти по формуле:

$$r = \frac{S}{p}$$

где S - площадь треугольника, а p - полупериметр треугольника. В данном случае:

$$r = \frac{15\sqrt{7}}{15} = \sqrt{7}$$

Таким образом, радиус описанной окружности $$R = \frac{16\sqrt{7}}{7}$$, а радиус вписанной окружности $$r = \sqrt{7}$$.

Ответ: $$R = \frac{16\sqrt{7}}{7}; r = \sqrt{7}$$