7) Найти sin a, ctg a, tga, если cos a = -\frac{15}{17} и а- угол III четверти.

Ответ: \(\sin \alpha = -\frac{8}{17}\), \(\tan \alpha = \frac{8}{15}\), \(\cot \alpha = \frac{15}{8}\)

Решение:

• Так как \(\alpha\) находится в III четверти, \(\sin \alpha < 0\), \(\tan \alpha > 0\) и \(\cot \alpha > 0\).
• Используем основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\).
• Находим \(\sin \alpha\):
  • \(\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{15}{17}\right)^2 = 1 - \frac{225}{289} = \frac{289 - 225}{289} = \frac{64}{289}\)
  • \(\sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{64}{289}} = \pm \frac{8}{17}\). Так как \(\sin \alpha < 0\) в III четверти, то \(\sin \alpha = -\frac{8}{17}\).
• Находим \(\tan \alpha\):
  • \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-\frac{8}{17}}{-\frac{15}{17}} = \frac{8}{15}\)
• Находим \(\cot \alpha\):
  • \(\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{1}{\frac{8}{15}} = \frac{15}{8}\)

Ответ: \(\sin \alpha = -\frac{8}{17}\), \(\tan \alpha = \frac{8}{15}\), \(\cot \alpha = \frac{15}{8}\)