Найти сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, если B₄=4, а в₆= 16.

Пошаговое решение:

• Выразим b₄ и b₆ через первый член и знаменатель: \( b_4 = b_1q^3 \) и \( b_6 = b_1q^5 \)
• Разделим b₆ на b₄: \( \frac{b_6}{b_4} = \frac{b_1q^5}{b_1q^3} = q^2 = \frac{16}{4} = 4 \)
  Отсюда, \( q = \pm 2 \)
• Найдем b₁:
  • Если q = 2, то \( b_1 = \frac{b_4}{q^3} = \frac{4}{2^3} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \)
  • Если q = -2, то \( b_1 = \frac{b_4}{q^3} = \frac{4}{(-2)^3} = \frac{4}{-8} = -\frac{1}{2} \)
• Вычислим сумму первых пяти членов:
  • Если q = 2, \( b_1 = \frac{1}{2} \), то \( S_5 = \frac{b_1(q^5 - 1)}{q-1} = \frac{\frac{1}{2}(2^5 - 1)}{2-1} = \frac{\frac{1}{2}(32 - 1)}{1} = \frac{31}{2} = 15.5 \)
  • Если q = -2, \( b_1 = -\frac{1}{2} \), то \( S_5 = \frac{b_1(q^5 - 1)}{q-1} = \frac{-\frac{1}{2}((-2)^5 - 1)}{-2-1} = \frac{-\frac{1}{2}(-32 - 1)}{-3} = \frac{-\frac{1}{2}(-33)}{-3} = \frac{33}{2(-3)} = -\frac{11}{2} = -5.5 \)

Ответ: Если q=2, то S₅=15.5; если q=-2, то S₅=-5.5.