4. Найти значения х, при которых значения производной функции f(x) = 1-x x² + 8 отрицательны.

4. Найти значения $$x$$, при которых значения производной функции $$f(x) = \frac{1-x}{x^2 + 8}$$ отрицательны.

Сначала найдем производную функции, используя правило дифференцирования частного:

$$f'(x) = \frac{(1-x)'(x^2+8) - (1-x)(x^2+8)'}{(x^2+8)^2} = \frac{-1(x^2+8) - (1-x)(2x)}{(x^2+8)^2} = \frac{-x^2-8 - 2x + 2x^2}{(x^2+8)^2} = \frac{x^2 - 2x - 8}{(x^2+8)^2}$$.

Теперь нужно найти, когда производная отрицательна, т.е. когда $$f'(x) < 0$$. Знаменатель всегда положителен, поэтому нужно рассмотреть числитель:

$$x^2 - 2x - 8 < 0$$.

Решим квадратное уравнение $$x^2 - 2x - 8 = 0$$:

$$D = (-2)^2 - 4(1)(-8) = 4 + 32 = 36$$.

$$x_1 = \frac{2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{2+6}{2} = 4$$

$$x_2 = \frac{2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{2-6}{2} = -2$$

Значит, $$x^2 - 2x - 8 = (x-4)(x+2)$$.

Решаем неравенство $$(x-4)(x+2) < 0$$.

Метод интервалов: $$x \, \in \, (-2; 4)$$.

Ответ: $$x \in (-2; 4)$$