Вариант II 1. Найти производную функции: 1) 2x3 1. x2 2;2) (4-3x); 3) exsin x; 4) 3* COS X

1. Найти производную функции:

1) $$2x^3 - \frac{1}{x^2}$$

Производная данной функции находится по формуле $$(x^n)' = nx^{n-1}$$ и $$\left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}$$:

$$\begin{aligned} (2x^3 - \frac{1}{x^2})' &= (2x^3)' - (\frac{1}{x^2})' = 2 \cdot 3x^2 - (-\frac{2}{x^3}) = 6x^2 + \frac{2}{x^3} \end{aligned}$$

2) $$(4-3x)^6$$

Применим правило дифференцирования сложной функции $$(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$. В данном случае, $$f(u) = u^6$$ и $$g(x) = 4-3x$$.

$$f'(u) = 6u^5$$

$$g'(x) = -3$$

Тогда производная исходной функции:

$$\begin{aligned} ((4-3x)^6)' &= 6(4-3x)^5 \cdot (-3) = -18(4-3x)^5 \end{aligned}$$

3) $$e^x \cdot sin x$$

Здесь необходимо воспользоваться правилом произведения: $$(u \cdot v)' = u'v + uv'$$.

$$u(x) = e^x, \quad u'(x) = e^x$$

$$v(x) = \sin x, \quad v'(x) = \cos x$$

Тогда:

$$\begin{aligned} (e^x \sin x)' &= e^x \sin x + e^x \cos x = e^x(\sin x + \cos x) \end{aligned}$$

4) $$\frac{3^x}{\cos x}$$

Используем правило дифференцирования частного: $$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$.

$$u(x) = 3^x, \quad u'(x) = 3^x \ln 3$$

$$v(x) = \cos x, \quad v'(x) = -\sin x$$

Тогда:

$$\begin{aligned} \left(\frac{3^x}{\cos x}\right)' &= \frac{3^x \ln 3 \cdot \cos x - 3^x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{3^x(\ln 3 \cos x + \sin x)}{\cos^2 x} \end{aligned}$$

Ответ: 1) $$6x^2 + \frac{2}{x^3}$$; 2) $$-18(4-3x)^5$$; 3) $$e^x(\sin x + \cos x)$$; 4) $$\frac{3^x(\ln 3 \cos x + \sin x)}{\cos^2 x}$$