Не выполняя построения, определите, пересекаются ли парабола у = х²/3 и прямая у = 6х – 15. Если точки пересечения существуют, то найдите их координаты.

Чтобы определить, пересекаются ли парабола $$y = \frac{x^2}{3}$$ и прямая $$y = 6x - 15$$, нужно решить систему уравнений:

$$\begin{cases}y = \frac{x^2}{3}\\y = 6x - 15\end{cases}$$

Подставим выражение для $$y$$ из второго уравнения в первое:

$$\frac{x^2}{3} = 6x - 15$$

Умножим обе части на 3:

$$x^2 = 18x - 45$$

Перенесем все в одну сторону:

$$x^2 - 18x + 45 = 0$$

Найдем дискриминант:

$$D = (-18)^2 - 4 \times 1 \times 45 = 324 - 180 = 144$$

Так как $$D > 0$$, у нас есть два решения:

$$x_1 = \frac{18 + \sqrt{144}}{2} = \frac{18 + 12}{2} = 15$$

$$x_2 = \frac{18 - \sqrt{144}}{2} = \frac{18 - 12}{2} = 3$$

Теперь найдем соответствующие значения $$y$$:

При $$x_1 = 15$$:

$$y_1 = 6 \times 15 - 15 = 90 - 15 = 75$$

При $$x_2 = 3$$:

$$y_2 = 6 \times 3 - 15 = 18 - 15 = 3$$

Таким образом, координаты точек пересечения: $$(15; 75)$$ и $$(3; 3)$$.

Ответ: Парабола и прямая пересекаются в точках (15; 75) и (3; 3).