ноше...ая шляпа

Применим ПРОТОКОЛ А: Орфография

1. Определим орфограмму: гласная в суффиксе причастия.
2. Сформулируем правило:
   • Если в 1-м лице ед.ч. наст./буд. времени глагол оканчивается на -ую (-юю) \(\rightarrow\) суффикс -ОВА-/-ЕВА-.
   • Если на -ываю (-иваю) \(\rightarrow\) суффикс -ЫВА-/-ИВА-.
3. Разберем слово:
   • Запишем слово с пропуском: ноше...ая.
   • Образуем 1-е лицо ед.ч.: ношу.
4. Вывод: пишем букву Е, так как образовано от глагола "ношу".

Следовательно, вставляем букву е.

Ответ: ношеная шляпа