Объём куба равен V = a³. Если ребро куба увеличить на 1 см, на сколько увеличится объём?

Решение:

Пусть первоначальная длина ребра куба равна \( a \) см. Его объём равен \( V_1 = a^3 \) см³.

Если ребро куба увеличить на 1 см, то новая длина ребра станет \( a+1 \) см. Новый объём куба будет \( V_2 = (a+1)^3 \) см³.

Раскроем скобки, используя формулу куба суммы \( (x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 \):

\( V_2 = (a+1)^3 = a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot 1 + 3 \cdot a \cdot 1^2 + 1^3 = a^3 + 3a^2 + 3a + 1 \) см³.

Увеличение объёма составит:

\( \Delta V = V_2 - V_1 = (a^3 + 3a^2 + 3a + 1) - a^3 = 3a^2 + 3a + 1 \) см³.

Ответ: Объём увеличится на \( 3a^2 + 3a + 1 \) см³.