Один из углов прямоугольной трапеции равен 120°. Найдите её среднюю линию, если меньшая диагональ и большая боковая сторона трапеции равны а.

Ответ: \(a\sqrt{3}\)

1. Обозначим трапецию ABCD, где углы A и B прямые, угол D равен 120°, а BC — меньшее основание. Пусть BD = a (меньшая диагональ) и CD = a (большая боковая сторона).
2. Проведем высоту CH к стороне AD. Тогда угол CDH равен 120° - 90° = 30°.
3. В прямоугольном треугольнике CDH катет CH равен половине гипотенузы CD, то есть CH = a/2.
4. В прямоугольном треугольнике ABD катет AB равен CH, то есть AB = a/2.
5. Рассмотрим треугольник BCD. По теореме косинусов:
   \[BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(120^\circ)\]
   \[a^2 = BC^2 + a^2 - 2 \cdot BC \cdot a \cdot (-\frac{1}{2})\]
   \[a^2 = BC^2 + a^2 + BC \cdot a\]
   \[BC^2 + BC \cdot a = 0\]
   \[BC(BC + a) = 0\]
   Так как BC не может быть равно 0, то:
   \[BC = a\]
6. Из прямоугольного треугольника CDH найдем DH:
   \[DH = CD \cdot \cos(30^\circ) = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{2}\]
7. Так как AD = AH + HD = BC + HD, то AD = a + (a\sqrt{3})/2.
8. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:
   \[MN = \frac{BC + AD}{2} = \frac{a + a + \frac{a\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{2a + \frac{a\sqrt{3}}{2}}{2} = a + \frac{a\sqrt{3}}{4}\]

Ответ: \(a\sqrt{3}\)