Три точки А, В и С расположены так, что \(\overrightarrow{BC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\). Докажите, что для любой точки О справедливо равенство \[\overrightarrow{OB} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OC}.\]

Ответ: Равенство справедливо.

1. Выразим вектор \(\overrightarrow{OB}\) через векторы \(\overrightarrow{OA}\) и \(\overrightarrow{OC}\), используя соотношение \(\overrightarrow{BC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\):
   \[\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB}\]
   \[\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{BC}\]
   Так как \(\overrightarrow{BC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\), то
   \[\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\]
   \[\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}\]
   \[\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \frac{1}{2}(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA})\]
   \[\overrightarrow{OC} = \frac{3}{2}\overrightarrow{OB} - \frac{1}{2}\overrightarrow{OA}\]
   \[\frac{3}{2}\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OA}\]
   \[\overrightarrow{OB} = \frac{2}{3}\overrightarrow{OC} + \frac{1}{3}\overrightarrow{OA}\]
   \[\overrightarrow{OB} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OC}\]
2. Итак, для любой точки O справедливо равенство \(\overrightarrow{OB} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OC}\).

Ответ: Равенство справедливо.