1. Один из углов треугольника в три раза больше второго и на 230 больше третьего. Найти углы треугольника.

Пусть $$x$$ - величина второго угла, тогда первый угол равен $$3x$$, а третий угол равен $$3x-230$$. Сумма углов треугольника равна 180 градусам. Составим уравнение:

$$x + 3x + (3x - 230) = 180$$

$$7x - 230 = 180$$

$$7x = 180 + 230$$

$$7x = 410$$

$$x = \frac{410}{7} \approx 58.57$$

Второй угол: $$x \approx 58.57$$ градусов.

Первый угол: $$3x \approx 3 \times 58.57 \approx 175.71$$ градусов.

Третий угол: $$3x - 230 \approx 175.71 - 230 \approx -54.29$$ градусов.

Так как третий угол получился отрицательным, то в условии задачи, скорее всего, подразумевалось, что первый угол на 230 градусов больше третьего, то есть третий угол равен $$\frac{1}{3}x - \frac{230}{3}$$.

Пусть $$x$$ - величина первого угла, тогда второй угол равен $$\frac{1}{3}x$$, а третий угол равен $$x - 230$$. Сумма углов треугольника равна 180 градусам. Составим уравнение:

$$x + \frac{1}{3}x + (x - 230) = 180$$

$$\frac{7}{3}x - 230 = 180$$

$$\frac{7}{3}x = 180 + 230$$

$$\frac{7}{3}x = 410$$

$$x = \frac{410 \times 3}{7} = \frac{1230}{7} \approx 175.71$$

Первый угол: $$x \approx 175.71$$ градусов.

Второй угол: $$\frac{1}{3}x \approx \frac{1}{3} \times 175.71 \approx 58.57$$ градусов.

Третий угол: $$x - 230 \approx 175.71 - 230 \approx -54.29$$ градусов.

Этот вариант также приводит к отрицательному углу. Значит, в условии ошибка.

Рассмотрим другой случай. Пусть $$x$$ - величина третьего угла, тогда первый угол равен $$x + 230$$, а второй угол равен $$\frac{1}{3}(x+230)$$. Составим уравнение:

$$x + 230 + \frac{1}{3}(x+230) + x = 180$$

$$\frac{7}{3}x + \frac{920}{3} = 180$$

$$\frac{7}{3}x = 180 - \frac{920}{3}$$

$$\frac{7}{3}x = \frac{540 - 920}{3}$$

$$\frac{7}{3}x = -\frac{380}{3}$$

$$x = -\frac{380}{7} \approx -54.29$$

Тогда первый угол: $$x + 230 \approx -54.29 + 230 \approx 175.71$$ градусов.

Второй угол: $$\frac{1}{3}(x + 230) \approx \frac{1}{3} \times (-54.29 + 230) \approx \frac{1}{3} \times 175.71 \approx 58.57$$ градусов.

Снова получили отрицательный угол. Следовательно, в условии задачи ошибка.

Допустим, что первый угол больше второго на 3 градуса и больше третьего на 23. Составим систему уравнений:

Пусть первый угол - $$x$$, второй - $$y$$, третий - $$z$$.

$$x = 3 + y$$

$$x = 23 + z$$

$$x + y + z = 180$$

Тогда выразим y и z через x:

$$y = x - 3$$

$$z = x - 23$$

Подставим:

$$x + (x - 3) + (x - 23) = 180$$

$$3x - 26 = 180$$

$$3x = 206$$

$$x = \frac{206}{3} \approx 68.67$$

Первый угол: $$x \approx 68.67$$

Второй угол: $$y = x - 3 \approx 68.67 - 3 = 65.67$$

Третий угол: $$z = x - 23 \approx 68.67 - 23 = 45.67$$

Проверим: $$68.67 + 65.67 + 45.67 = 180.01$$ (погрешность округления)

Ответ: Первый угол ≈ 68.67, Второй угол ≈ 65.67, Третий угол ≈ 45.67