12. Одна из сторон параллелограмма равна 12, другая равна 5, а тангенс одного из углов √2 равен -. Найдите площадь параллелограмма. 4

Ответ:

Пусть дан параллелограмм со сторонами a = 12 и b = 5. Тангенс одного из углов равен \[\frac{\sqrt{2}}{4}\]

Найдем синус этого угла, используя основное тригонометрическое тождество:

\[sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1\]

Разделим обе части на cos²(α):

\[tg^2(\alpha) + 1 = \frac{1}{cos^2(\alpha)}\]

Тогда: \[cos^2(\alpha) = \frac{1}{tg^2(\alpha) + 1} = \frac{1}{(\frac{\sqrt{2}}{4})^2 + 1} = \frac{1}{\frac{2}{16} + 1} = \frac{1}{\frac{18}{16}} = \frac{16}{18} = \frac{8}{9}\]

\[cos(\alpha) = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}\]

\[sin(\alpha) = tg(\alpha) \cdot cos(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\]

Площадь параллелограмма равна: \[S = a \cdot b \cdot sin(\alpha) = 12 \cdot 5 \cdot \frac{1}{3} = 20\]

Ответ: 20

Проверка за 10 секунд: Убедись, что использовал правильную формулу площади параллелограмма через синус угла.

Доп. профит: Читерский прием: Если тангенс мал, синус примерно равен тангенсу. Это упрощает вычисления.