4. Одна сторона треугольника на 8 см больше другой, а угол между ними равен 120°. Найдите периметр треугольника, если его третья сторона равна 28 см.

4. Дано: треугольник, одна сторона на 8 см больше другой, угол между ними 120°, третья сторона равна 28 см.

Найти: периметр треугольника.

Решение:

1. Пусть $$a$$ и $$b$$ - две стороны треугольника, где $$b = a + 8$$, а $$c = 28$$ см, и угол между $$a$$ и $$b$$ равен 120°.
2. По теореме косинусов: $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot cos(\gamma)$$.
3. $$28^2 = a^2 + (a + 8)^2 - 2a(a + 8) \cdot cos(120^\circ)$$.
4. $$784 = a^2 + a^2 + 16a + 64 - 2a(a + 8) \cdot (-\frac{1}{2})$$.
5. $$784 = 2a^2 + 16a + 64 + a^2 + 8a$$.
6. $$3a^2 + 24a - 720 = 0$$.
7. $$a^2 + 8a - 240 = 0$$.
8. По теореме Виета: $$a_1 + a_2 = -8$$, $$a_1 \cdot a_2 = -240$$.
9. $$a_1 = 12$$, $$a_2 = -20$$ (не подходит).
10. $$a = 12$$ см, $$b = 12 + 8 = 20$$ см, $$c = 28$$ см.
11. Периметр треугольника: $$P = a + b + c = 12 + 20 + 28 = 60$$ см.

Ответ: 60 см.