4. Одна сторона треугольника на 3 см меньше другой, а угол между ними равен 60°. Найдите периметр треугольника, если его третья сторона равна 7 см.

Пусть одна сторона треугольника равна \( x \) см, тогда другая сторона равна \( x + 3 \) см. Третья сторона равна 7 см, а угол между сторонами \( x \) и \( x + 3 \) равен 60°. Воспользуемся теоремой косинусов: $$ 7^2 = x^2 + (x+3)^2 - 2x(x+3)\cos(60^\circ) $$ $$ 49 = x^2 + x^2 + 6x + 9 - 2x(x+3) \cdot \frac{1}{2} $$ $$ 49 = 2x^2 + 6x + 9 - x^2 - 3x $$ $$ 49 = x^2 + 3x + 9 $$ $$ x^2 + 3x - 40 = 0 $$ Решим квадратное уравнение: $$ x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(-40)}}{2(1)} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 160}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{169}}{2} = \frac{-3 \pm 13}{2} $$ Получаем два корня: $$ x_1 = \frac{-3 + 13}{2} = \frac{10}{2} = 5 $$ $$ x_2 = \frac{-3 - 13}{2} = \frac{-16}{2} = -8 $$ Так как длина стороны не может быть отрицательной, берем \( x = 5 \). Тогда стороны треугольника: $$ x = 5 \text{ см} $$ $$ x + 3 = 5 + 3 = 8 \text{ см} $$ $$ 7 \text{ см} $$ Периметр треугольника: $$ P = 5 + 8 + 7 = 20 \text{ см} $$ Ответ: Периметр треугольника равен 20 см. Ответ: 20 см