178 Одно время была популярна лотерея «Честная игра». В билете лотереи имеются 20 закрытых букв, ровно 10 из них – буквы слова «АВТОМОБИЛЬ». Буквы разбросаны случайным образом. По правилам лотереи, если владелец билета, открыв ровно 10 букв, откроет все буквы слова «АВТОМОБИЛЬ», то он выигрывает машину. а) Сколько всего существует способов открыть 10 букв? б) Сколько существует способов открыть 10 букв так, чтобы выиграть автомобиль?

Ответ: а) 184756 б) 1

а) Сколько всего существует способов открыть 10 букв?

• Общее количество способов открыть 10 букв из 20 рассчитывается с помощью формулы сочетаний.
• \(C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}\), где \(n = 20\) (всего букв), \(k = 10\) (открываемых букв).
• \(C(20, 10) = \frac{20!}{10! \cdot 10!} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 184756\)
• Таким образом, всего существует 184756 способов открыть 10 букв из 20.

б) Сколько существует способов открыть 10 букв так, чтобы выиграть автомобиль?

• Для выигрыша необходимо открыть все 10 букв слова «АВТОМОБИЛЬ».
• Так как существует только один способ открыть все 10 букв слова «АВТОМОБИЛЬ», то количество способов выиграть равно 1.

Ответ: а) 184756 б) 1