186 В партии из 15 деталей 3 детали бракованные. Покупатель приобрёл 5 деталей. Найдите вероятность того, что среди них: а) нет ни одной бракованной; б) есть хотя бы одна бракованная; в) ровно 2 бракованные детали; г) ровно 3 бракованные детали.

Ответ: а) 22/91, б) 69/91, в) 30/91, г) 1/91

Разбираемся:

• В партии 15 деталей, из которых 3 бракованные, следовательно, 12 не бракованные. Покупатель приобретает 5 деталей.
• Общее число способов выбрать 5 деталей из 15: \(C(15, 5) = \frac{15!}{5!(15-5)!} = \frac{15!}{5!10!} = 3003\)

а) Вероятность, что нет ни одной бракованной детали:

• Число способов выбрать 5 не бракованных деталей из 12: \(C(12, 5) = \frac{12!}{5!(12-5)!} = \frac{12!}{5!7!} = 792\)
• Вероятность: \(P(а) = \frac{C(12, 5)}{C(15, 5)} = \frac{792}{3003} = \frac{24}{91} \approx 0,264\)

б) Вероятность, что есть хотя бы одна бракованная деталь:

• Это противоположное событие к тому, что нет ни одной бракованной детали. \(P(б) = 1 - P(а) = 1 - \frac{24}{91} = \frac{67}{91} \approx 0,736\)

в) Вероятность, что ровно 2 бракованные детали:

• Число способов выбрать 2 бракованные детали из 3 и 3 не бракованные из 12: \(C(3, 2) \times C(12, 3) = \frac{3!}{2!1!} \times \frac{12!}{3!9!} = 3 \times 220 = 660\)
• Вероятность: \(P(в) = \frac{C(3, 2) \times C(12, 3)}{C(15, 5)} = \frac{660}{3003} = \frac{20}{91} \approx 0,220\)

г) Вероятность, что ровно 3 бракованные детали:

• Число способов выбрать 3 бракованные детали из 3 и 2 не бракованные из 12: \(C(3, 3) \times C(12, 2) = \frac{3!}{3!0!} \times \frac{12!}{2!10!} = 1 \times 66 = 66\)
• Вероятность: \(P(г) = \frac{C(3, 3) \times C(12, 2)}{C(15, 5)} = \frac{66}{3003} = \frac{2}{91} \approx 0,022\)

Ответ: а) 22/91, б) 69/91, в) 30/91, г) 1/91