10. Окружность, описанная и вписанная в треугольник. Стороны треугольника соответственно равны 15 см, 13 см, 4 см. 1. Вычисли радиус окружности, описанной около треугольника. 2. Вычисли радиус окружности, вписанной в треугольник.

1. Радиус описанной окружности можно вычислить по формуле: $$R = \frac{abc}{4S}$$, где $$a, b, c$$ – стороны треугольника, а $$S$$ – его площадь. Сначала найдем полупериметр $$p$$: $$p = \frac{15 + 13 + 4}{2} = \frac{32}{2} = 16$$ см. Теперь найдем площадь $$S$$ по формуле Герона: $$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{16(16-15)(16-13)(16-4)} = \sqrt{16 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 12} = \sqrt{576} = 24$$ см$$^2$$. Тогда радиус описанной окружности: $$R = \frac{15 \cdot 13 \cdot 4}{4 \cdot 24} = \frac{780}{96} = \frac{65}{8} = 8.125$$ см. 2. Радиус вписанной окружности можно вычислить по формуле: $$r = \frac{S}{p}$$, где $$S$$ – площадь треугольника, а $$p$$ – полупериметр. Мы уже знаем, что $$S = 24$$ см$$^2$$ и $$p = 16$$ см, следовательно: $$r = \frac{24}{16} = \frac{3}{2} = 1.5$$ см. Ответ: Радиус описанной окружности: 8.125 см. Радиус вписанной окружности: 1.5 см.