5. Окружность с центром на стороне АС треугольника АВС проходит через вершину С и касается прямой АВ в точке В. Найдите АС, если диаметр окружности равен 6,4, a AB=6.

Пусть (O) – центр окружности, (AC) – сторона треугольника, на которой лежит центр окружности, (B) – точка касания окружности с прямой (AB). Тогда (OB \perp AB) (радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной). (OC) – радиус окружности, и (AC = AO + OC). Диаметр окружности равен 6.4, значит радиус (OC = \frac{6.4}{2} = 3.2). Рассмотрим прямоугольный треугольник (ABO). По теореме Пифагора: \[AO^2 = AB^2 + BO^2\] \[AO^2 = 6^2 + 3.2^2\] \[AO^2 = 36 + 10.24\] \[AO^2 = 46.24\] \[AO = \sqrt{46.24} = 6.8\] (AC = AO + OC = 6.8 + 3.2 = 10). Ответ: AC = 10.