2. Точка О является серединой стороны CD квадрата ABCD. Радиус окружности с центром в точке О, проходящей через вершину А, равен 3√5. Найдите площадь квадрата ABCD.

Пусть сторона квадрата равна (a). Так как точка O – середина стороны CD, то (OC = OD = \frac{a}{2}). Рассмотрим прямоугольный треугольник (AOD). В этом треугольнике: (AO = 3\sqrt{5}) (радиус окружности), (OD = \frac{a}{2}), (AD = a). По теореме Пифагора: \[AO^2 = AD^2 + OD^2\] \[(3\sqrt{5})^2 = a^2 + (\frac{a}{2})^2\] \[45 = a^2 + \frac{a^2}{4}\] \[45 = \frac{4a^2 + a^2}{4}\] \[45 = \frac{5a^2}{4}\] \[5a^2 = 45 \cdot 4\] \[a^2 = \frac{45 \cdot 4}{5}\] \[a^2 = 9 \cdot 4\] \[a^2 = 36\] \[a = 6\] Сторона квадрата (a = 6). Площадь квадрата (S = a^2). (S = 6^2 = 36). Ответ: Площадь квадрата ABCD равна 36.