10. Окружность с центром О вписана в треугольник АВС. Найдите угол АСВ, если АВ = АС, ∠BOC = 130°.

Пошаговое решение:

• Так как треугольник \(ABC\) равнобедренный с \(AB = AC\), углы при основании равны: \(\angle ABC = \angle ACB\).
• Окружность вписана в треугольник, значит, \(BO\) и \(CO\) - биссектрисы углов \(\angle ABC\) и \(\angle ACB\) соответственно.
• \(\angle BOC = 130°\). Рассмотрим треугольник \(BOC\). \(\angle OBC + \angle OCB = 180° - \angle BOC = 180° - 130° = 50°\).
• Так как \(BO\) и \(CO\) - биссектрисы, \(\angle ABC = 2 \cdot \angle OBC\) и \(\angle ACB = 2 \cdot \angle OCB\). Значит, \(\angle ABC + \angle ACB = 2 \cdot (\angle OBC + \angle OCB) = 2 \cdot 50° = 100°\).
• Так как \(\angle ABC = \angle ACB\), \(\angle ACB = \frac{100°}{2} = 50°\).

Ответ: 50°