Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит точкой касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 7 и 16, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.

Решение:

• Пусть \(ABC\) – равнобедренный треугольник с основанием \(AC\). Окружность касается стороны \(AB\) в точке \(D\), стороны \(BC\) в точке \(E\), а стороны \(AC\) в точке \(F\).
• По условию, \(AD = 7\) и \(DB = 16\). Тогда \(AB = AD + DB = 7 + 16 = 23\).
• Так как \(ABC\) – равнобедренный, то \(BC = AB = 23\).
• По свойству касательных, проведённых из одной точки, \(AD = AF = 7\) и \(BD = BE = 16\).
• Обозначим \(CF = x\). Тогда \(CE = CF = x\).
• Периметр треугольника \(ABC\) равен: \(P = AB + BC + AC = 23 + 23 + 7 + 7 + x + x = 46 + 14 + 2x = 60 + 2x\).
• Так как касательные равны, то \(CD = CF = x\). \(AC = 7 + CF = 7 + CE \)
• Следовательно, \(AC = AF + FC = 7 + х\). Но нам надо найти \(AC = AE + EC = 7 + 7 = 14\)
• Так как \(CD = x = 7\)
• \(P = AB + BC + AC = 23 + 23 + 14 = 60\)

Ответ: Периметр треугольника равен 60.