9. Определите, при каких значениях переменной х числа 3х2 + 1. x² +5, х²-7 будут последовательными членами геометрической прогрессии.

Решение:

Для геометрической прогрессии выполняется:

\[ (x^2 + 5)^2 = (3x^2 + 1)(x^2 - 7) \]

Раскроем скобки:

\[ x^4 + 10x^2 + 25 = 3x^4 - 21x^2 + x^2 - 7 \]

\[ x^4 + 10x^2 + 25 = 3x^4 - 20x^2 - 7 \]

\[ 2x^4 - 30x^2 - 32 = 0 \]

Разделим на 2:

\[ x^4 - 15x^2 - 16 = 0 \]

Пусть \( t = x^2 \), тогда:

\[ t^2 - 15t - 16 = 0 \]

Решим квадратное уравнение:

\[ D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 225 + 64 = 289 \]

\[ t_1 = \frac{15 + \sqrt{289}}{2} = \frac{15 + 17}{2} = \frac{32}{2} = 16 \]

\[ t_2 = \frac{15 - \sqrt{289}}{2} = \frac{15 - 17}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]

Обратная замена:

1. Если \( t = 16 \), то \( x^2 = 16 \), следовательно, \( x = \pm 4 \)
2. Если \( t = -1 \), то \( x^2 = -1 \), что невозможно, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Ответ: x = 4, x = -4