Определите, при каких значениях т прямая у=т имеет с графиком ровно одну общую точку.

Анализ графика и условия задачи

Нам нужно найти, при каких значениях m прямая y = m (горизонтальная линия) пересекает график заданной кусочно-линейной функции ровно в одной точке.

Для этого проанализируем график, построенный ранее:

• Участок 1 (y = x - 0.5 при x < -2): Эта часть графика - луч, идущий вниз влево. Наибольшее значение y на этом луче стремится к -2.5 (но не достигает его).
• Участок 2 (y = -2x - 6.5 при -2 <= x <= -1): Это отрезок, соединяющий точки (-2; -2.5) и (-1; -4.5).
• Участок 3 (y = x - 3.5 при x > -1): Эта часть графика - луч, идущий вверх вправо. Наименьшее значение y на этом луче равно -4.5 (в точке x = -1).

Поиск значений m:

Чтобы прямая y = m имела ровно одну общую точку с графиком, она должна проходить через:

1. Вершину «изгиба» графика, где меняется направление лучей.
• На графике видно, что наивысшая точка, которую достигает график (или к которой стремится), это y = -2.5. Эта точка достигается на границе между первым и вторым участками (x = -2). Если m = -2.5, прямая y = -2.5 коснется графика в одной точке (-2; -2.5).
• Также, на границе между вторым и третьим участками (x = -1), обе части функции пересекаются в одной точке (-1; -4.5). Поэтому, если m = -4.5, прямая y = -4.5 также будет иметь одну общую точку с графиком.
2. Крайние точки лучей, если луч не продолжается бесконечно в противоположную сторону.
• Луч 1 (x < -2) уходит вниз влево бесконечно.
• Луч 3 (x > -1) уходит вверх вправо бесконечно.
• Отрезок 2 является связующим звеном.

Проверяем условия:

• Если m > -2.5, прямая y = m не будет пересекать график вовсе (или пересечет только один луч, что нужно уточнять, но скорее всего не даст ровно одной точки).
• Если -4.5 < m < -2.5, прямая y = m будет пересекать график в двух точках (одну на первом луче и одну на третьем луче).
• Если m = -2.5, прямая пересечет график в точке (-2; -2.5).
• Если m = -4.5, прямая пересечет график в точке (-1; -4.5) (это точка, где соединяются второй и третий участки).
• Если m < -4.5, прямая пересечет график в одной точке (на первом луче).

Уточнение:

Рассмотрим внимательно поведение функции:

1. y = x - 0.5 при x < -2. Значения y стремятся к -2 - 0.5 = -2.5. То есть, y принимает все значения из интервала (-∞, -2.5).

2. y = -2x - 6.5 при -2 <= x <= -1. На этом отрезке y принимает значения от -4.5 (при x = -1) до -2.5 (при x = -2). Интервал [-4.5, -2.5].

3. y = x - 3.5 при x > -1. Значения y начинаются от -1 - 3.5 = -4.5 и уходят в +∞. То есть, y принимает все значения из интервала [-4.5, +∞).

Объединяя все значения y, которые принимает функция:

(-∞, -2.5) U [-4.5, -2.5] U [-4.5, +∞) = (-∞, +∞). Вся числовая ось.

Теперь ищем, где y = m пересекает график ровно один раз:

• Если m = -2.5: прямая пересекает график в точке (-2; -2.5). Это одна точка.
• Если m = -4.5: прямая пересекает график в точке (-1; -4.5). Это одна точка.
• Если m < -4.5: прямая пересекает только первый луч y = x - 0.5 (т.к. этот луч принимает значения меньше -2.5, и значит, все значения меньше -4.5). Это одна точка.

В итоге, прямая y = m будет иметь ровно одну общую точку с графиком, когда m находится в интервале (-∞, -4.5] или когда m = -2.5.

Ответ: m < -4.5 или m = -2.5