9. Определите, при каком значении переменной з числа х² + 8, x² + 2, 3x² - 2 будут последовательными членами геометрической прогрессии.

Пошаговое решение:

Если \( x^2 + 8, x^2 + 2, 3x^2 - 2 \) — последовательные члены геометрической прогрессии, то выполняется условие:

\( \frac{x^2 + 2}{x^2 + 8} = \frac{3x^2 - 2}{x^2 + 2} \)

Перемножим крест-накрест:

\( (x^2 + 2)^2 = (x^2 + 8)(3x^2 - 2) \)

\( x^4 + 4x^2 + 4 = 3x^4 + 24x^2 - 2x^2 - 16 \)

\( x^4 + 4x^2 + 4 = 3x^4 + 22x^2 - 16 \)

\( 2x^4 + 18x^2 - 20 = 0 \)

Разделим на 2:

\( x^4 + 9x^2 - 10 = 0 \)

Пусть \( t = x^2 \), тогда \( t^2 + 9t - 10 = 0 \)

Найдем корни квадратного уравнения:

\( D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 81 + 40 = 121 \)

\( t_1 = \frac{-9 + \sqrt{121}}{2} = \frac{-9 + 11}{2} = 1 \)

\( t_2 = \frac{-9 - \sqrt{121}}{2} = \frac{-9 - 11}{2} = -10 \)

Так как \( t = x^2 \), то \( x^2 = 1 \) или \( x^2 = -10 \).

Если \( x^2 = 1 \), то \( x = \pm 1 \).

Если \( x^2 = -10 \), то \( x \) не является действительным числом.

Ответ: x = 1 или x = -1.