4. Определите, является ли уравнение $$x^2 + y^2 + z^2 - 6x + 10y + 2z + 31 = 0$$ уравнением сферы. В случае утвердительного ответа укажите координаты центра сферы и её радиус.

Приведем уравнение к виду $$(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$$. $$x^2 - 6x + y^2 + 10y + z^2 + 2z + 31 = 0$$. Выделим полные квадраты: $$(x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 10y + 25) + (z^2 + 2z + 1) + 31 - 9 - 25 - 1 = 0$$. $$(x - 3)^2 + (y + 5)^2 + (z + 1)^2 - 4 = 0$$. $$(x - 3)^2 + (y + 5)^2 + (z + 1)^2 = 4$$. $$(x - 3)^2 + (y + 5)^2 + (z + 1)^2 = 2^2$$. Это уравнение сферы с центром в точке (3; -5; -1) и радиусом R = 2. Ответ: Да, является уравнением сферы с центром (3; -5; -1) и радиусом 2.