3. Угол при вершине осевого сечения конуса равен 120°. Вокруг конуса описан шар, радиус которого равен 8 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Пусть угол при вершине конуса равен $$2\alpha = 120^\circ$$, тогда $$\alpha = 60^\circ$$. Радиус шара, описанного вокруг конуса, равен R = 8 см. Пусть радиус основания конуса равен r, а высота конуса равна h. Тогда $$r = R \sin(2\alpha) = 8 \sin(120^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$$. $$h = R(1 + \cos(2\alpha)) = R(1 + \cos(120^\circ)) = 8(1 - \frac{1}{2}) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$$. Образующая конуса l равна $$\sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{(4\sqrt{3})^2 + 4^2} = \sqrt{48 + 16} = \sqrt{64} = 8$$. Площадь боковой поверхности конуса равна $$S = \pi r l = \pi \cdot 4\sqrt{3} \cdot 8 = 32\pi\sqrt{3}$$. Ответ: Площадь боковой поверхности конуса равна $$32\pi\sqrt{3}$$ кв. см.