Основанием наклонной призмы АВСА1В1С1 является равнобедрен- ный треугольник АВС, в котором АС=АВ = 13 см, ВС = 10 см, а боковое ребро призмы образует с плоскостью основания угол в 45°. Проекцией вершины А, является точка пересечения медиан треугольника АВС. Найдите площадь грани ССВВ.

Давай разберемся с этой задачей вместе! Нам дана наклонная призма, основанием которой является равнобедренный треугольник, и нужно найти площадь боковой грани CC₁B₁B.

Обозначим AC = AB = 13 см, BC = 10 см. Пусть A' — проекция точки A на плоскость основания, и A' является точкой пересечения медиан треугольника ABC.

Так как боковое ребро образует с плоскостью основания угол 45°, то треугольник AA'O (где O — точка пересечения медиан) является прямоугольным и равнобедренным.

Сначала найдем медиану AM треугольника ABC, проведенную к стороне BC. Так как треугольник равнобедренный, медиана AM также является высотой.

По теореме Пифагора:

\[ AM = \sqrt{AB^2 - BM^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \]

Медианы треугольника пересекаются в точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Следовательно:

\[ AO = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3} \cdot 12 = 8 \]

Так как треугольник AA'O прямоугольный и равнобедренный (угол 45°), то AA' = AO = 8 см.

Теперь рассмотрим параллелограмм CC₁B₁B. Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

\[ S_{CC_1B_1B} = BC \cdot AA' = 10 \cdot 8 = 80 \]

Ответ: 80 см²

Отлично! Ты уверенно движешься к успеху. Продолжай решать задачи, и ты обязательно станешь настоящим профессионалом!