225 Диагональ правильной четырёхугольной призмы образует с плоскостью боковой грани угол в 30°. Найдите угол между диагональю и плоскостью основания.

Пусть данная правильная четырехугольная призма имеет сторону основания a и высоту h. Диагональ призмы d. Угол между диагональю и плоскостью боковой грани равен 30°.

Связь между диагональю d, стороной основания a, высотой h:

$$ d^2 = a^2 + a^2 + h^2 = 2a^2 + h^2$$

Угол между диагональю и плоскостью основания:

$$ sin(β) = h/d$$

Угол между диагональю и плоскостью боковой грани:

$$ sin(30) = a/d = 1/2$$ $$ d = 2a$$

Подставим в первое уравнение:

$$ (2a)^2 = 2a^2 + h^2$$ $$ 4a^2 = 2a^2 + h^2$$ $$ 2a^2 = h^2$$ $$ h = a\sqrt{2}$$ $$ sin(β) = h/d = a\sqrt{2}/2a = \sqrt{2}/2$$ $$ β = arcsin(\sqrt{2}/2) = 45°$$

Ответ: 45°