5. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 7 и 12, высота призмы равна 14. Найдите площадь ее поверхности.

Площадь поверхности прямой треугольной призмы находится по формуле: $$S_{полн} = S_{бок} + 2 * S_{осн}$$. Площадь боковой поверхности равна: $$S_{бок} = P_{осн} * h$$, где $$P_{осн}$$ - периметр основания, $$h$$ - высота призмы. В основании лежит прямоугольный треугольник с катетами 7 и 12. Найдем гипотенузу этого треугольника по теореме Пифагора: $$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{7^2 + 12^2} = \sqrt{49 + 144} = \sqrt{193}$$. Тогда периметр основания равен: $$P_{осн} = a + b + c = 7 + 12 + \sqrt{193} = 19 + \sqrt{193}$$. Площадь боковой поверхности равна: $$S_{бок} = (19 + \sqrt{193}) * 14 = 266 + 14\sqrt{193}$$. Площадь основания равна: $$S_{осн} = \frac{1}{2} * a * b = \frac{1}{2} * 7 * 12 = 42$$. Тогда площадь полной поверхности равна: $$S_{полн} = 266 + 14\sqrt{193} + 2 * 42 = 266 + 14\sqrt{193} + 84 = 350 + 14\sqrt{193}$$. Ответ: $$350 + 14\sqrt{193}$$