Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Площадь ее поверхности равна 288. Найдите высоту призмы.

Решение:

1. Площадь основания (прямоугольного треугольника):\[ S_{осн} = \frac{1}{2} a b \]где \( a \) и \( b \) — катеты.
2. Подставляем значения катетов:\[ S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24 \]
3. Периметр основания: Сначала найдем гипотенузу \( c \) по теореме Пифагора:\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \]Периметр основания:\[ P_{осн} = a + b + c = 6 + 8 + 10 = 24 \]
4. Площадь полной поверхности призмы:\[ S_{полн} = 2 S_{осн} + P_{бок} \]
5. Площадь боковой поверхности:\[ P_{бок} = P_{осн} \cdot H \]где \( H \) — высота призмы.
6. Подставляем известные значения в формулу полной поверхности:\[ 288 = 2 \cdot 24 + 24 \cdot H \]
7. Решаем уравнение относительно высоты:\[ 288 = 48 + 24H \]\[ 288 - 48 = 24H \]\[ 240 = 24H \]\[ H = \frac{240}{24} = 10 \]

Ответ: 10