25. Основания трапеции относятся как 2 : 3. Через точку пересечения диагоналей проведена прямая, параллельная основаниям. В каком отн шении эта прямая делит площадь трапеции?

Пусть дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC, основания трапеции относятся как 2:3, т.е. BC:AD = 2:3.

Пусть O - точка пересечения диагоналей трапеции. Через точку O проведена прямая, параллельная основаниям трапеции, которая пересекает боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно.

Требуется найти отношение площадей трапеций AEFD и EBCF.

Пусть BC = 2x, AD = 3x. Тогда высота трапеции AEFD равна высоте трапеции EBCF.

Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту.

Для нахождения отношений площадей, необходимо найти EO и OF.

Так как AD || BC, то треугольники BOC и AOD подобны, поэтому BO/OD = BC/AD = 2/3.

Треугольники ABO и ADO имеют общую высоту, проведённую из точки A, поэтому их площади относятся как основания: S(ABO)/S(ADO) = BO/OD = 2/3.

Тогда S(ABO) = S(CDO), следовательно, площади треугольников BOC и AOD относятся как (2/3)^2 = 4/9.

EO = OF = \frac{2 \cdot AD \cdot BC}{AD + BC} = \frac{2 \cdot 3x \cdot 2x}{3x + 2x} = \frac{12x^2}{5x} = \frac{12}{5}x.

Площадь трапеции EBCF = \frac{1}{2}(EO + BC) \cdot h = \frac{1}{2}(\frac{12}{5}x + 2x) \cdot h = \frac{1}{2}(\frac{22}{5}x) \cdot h = \frac{11}{5}x \cdot h.

Площадь трапеции AEFD = \frac{1}{2}(OF + AD) \cdot h = \frac{1}{2}(\frac{12}{5}x + 3x) \cdot h = \frac{1}{2}(\frac{27}{5}x) \cdot h = \frac{27}{10}x \cdot h.

Отношение площади AEFD к площади EBCF = (\frac{27}{10}xh) / (\frac{11}{5}xh) = \frac{27}{10} \cdot \frac{5}{11} = \frac{27}{22}.

Ответ: 27:22