2. Основания трапеции равны 7 и 42, одна из боковых сторон равна 20, а косинус угла между √13 ней и одним из оснований равен 7 Найдите площадь трапеции

Решение:

Пусть дана трапеция ABCD, BC = 7, AD = 42, AB = 20. Проведем высоту BH к основанию AD. Тогда AH = x, HD = 42 - x. cos угла A равен \(\frac{\sqrt{13}}{7}\). Тогда \(\frac{AH}{AB} = \frac{\sqrt{13}}{7}\), отсюда \(\frac{x}{20} = \frac{\sqrt{13}}{7}\), x = \(\frac{20\sqrt{13}}{7}\). Тогда HD = 42 - \(\frac{20\sqrt{13}}{7}\).

В прямоугольном треугольнике ABH, BH = \(\sqrt{AB^2 - AH^2}\) = \(\sqrt{20^2 - (\frac{20\sqrt{13}}{7})^2}\) = \(\sqrt{400 - \frac{400 \cdot 13}{49}}\) = \(\sqrt{\frac{400 \cdot 49 - 400 \cdot 13}{49}}\) = \(\sqrt{\frac{400 \cdot 36}{49}}\) = \(\frac{20 \cdot 6}{7}\) = \(\frac{120}{7}\).

Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту: S = \(\frac{BC + AD}{2} \cdot BH\) = \(\frac{7 + 42}{2} \cdot \frac{120}{7}\) = \(\frac{49}{2} \cdot \frac{120}{7}\) = \(\frac{7 \cdot 120}{2}\) = 7 * 60 = 420.

Ответ: 420