93 Отрезки AE и DC пересекаются в точке B, являющейся се- рединой каждого из них. а) Докажите, что треугольники ABC и EBD равны; б) найдите углы A и C треугольника ABC, если в треугольнике BDE ∠D = 47°, ∠E = 42°.

а) Докажем, что треугольники ABC и EBD равны.

Так как точка B является серединой отрезков AE и DC, то AB = BE и DB = BC. Угол ABC равен углу EBD как вертикальные углы. Следовательно, треугольники ABC и EBD равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

б) Найдем углы A и C треугольника ABC, если в треугольнике BDE ∠D = 47°, ∠E = 42°.

Сумма углов в треугольнике BDE равна 180°:

$$∠B + ∠D + ∠E = 180°$$ $$∠B + 47° + 42° = 180°$$ $$∠B = 180° - 47° - 42° = 91°$$

Так как треугольники ABC и EBD равны, то соответственные углы равны: ∠A = ∠E и ∠C = ∠D. Следовательно,

$$∠A = ∠E = 42°$$ $$∠C = ∠D = 47°$$

Ответ: а) Треугольники ABC и EBD равны по первому признаку равенства треугольников. б) ∠A = 42°, ∠C = 47°.