103. В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, ∠A = ∠A₁. На сторонах AB и A₁B₁ отмечены точки P и P₁ так, что AP = A₁P₁. Докажите, что △BPC = AB₁P₁C₁.

Решение: 1. Рассмотрим треугольники APC и A₁P₁C₁: * AP = A₁P₁ (по условию). * AC = A₁C₁ (по условию). * ∠A = ∠A₁ (по условию). * Следовательно, треугольники APC и A₁P₁C₁ равны по первому признаку равенства треугольников. 2. Из равенства треугольников APC и A₁P₁C₁ следует, что PC = P₁C₁ и ∠APC = ∠A₁P₁C₁. 3. Так как AB = A₁B₁ и AP = A₁P₁, то BP = B₁P₁. 4. Рассмотрим треугольники BPC и B₁P₁C₁: * BP = B₁P₁ (доказано). * PC = P₁C₁ (доказано). * Необходимо доказать равенство углов ∠BPC и ∠B₁P₁C₁. ∠BPC = 180°-∠APC, ∠B₁P₁C₁=180°-∠A₁P₁C₁. Так как ∠APC = ∠A₁P₁C₁, то ∠BPC = ∠B₁P₁C₁. * Следовательно, треугольники BPC и B₁P₁C₁ равны по первому признаку равенства треугольников. Ответ: Треугольники BPC и B₁P₁C₁ равны.