178 Периметр правильного треугольника, вписанного в окруж- ность, равен 18 см. Найдите сторону квадрата, вписанного в ту же окружность.

Пусть a - сторона правильного треугольника, P - периметр правильного треугольника, R - радиус окружности, описанной около правильного треугольника, b - сторона квадрата, вписанного в окружность.

Периметр правильного треугольника равен 18 см, следовательно, сторона правильного треугольника:

$$a = \frac{P}{3} = \frac{18}{3} = 6 \text{ см}$$

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника:

$$R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \text{ см}$$

Радиус окружности, описанной около квадрата, равен половине диагонали квадрата. Диагональ квадрата:

$$d = 2R = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \text{ см}$$

Сторона квадрата:

$$b = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{6}}{2} = 2\sqrt{6} \text{ см}$$

Ответ: $$2\sqrt{6}$$ см